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什么是鸽子洞原理?

2022-11-21 09:02:38 学习心得

学习总结1:

什么是鸽子洞原理?

(1)示例

桌子上有十个苹果。把这十个苹果放在九个抽屉里。不管怎么放,有的抽屉能装一个,有的能装两个,有的能装五个。但是最后我们会发现,至少我们可以在一个抽屉里找到至少两个苹果。

(2)定义

一般把n+1个或更多的苹果放在n个抽屉里,至少一个抽屉里要有至少两个苹果。我们称这种现象为鸽笼原理。

学习总结2:

什么是鸽子洞原理?

桌子上有十个苹果。把这十个苹果放在九个抽屉里。不管你怎么放,我们都会发现至少一个抽屉里会有至少两个苹果。这种现象就是我们所说的鸽子洞原理。鸽子洞原理的大致意思是:如果每个抽屉代表一个集合,那么每个苹果可以代表一个元素。如果n个集合中有n-1个元素,那么一个集合中至少要有两个元素。鸽笼原理有时被称为鸽笼原理。这是组合数学中的一个重要原理。

第一鸽笼原理

原理:把N个以上的物品放在N个抽屉里,那么至少有一个抽屉里不少于两件物品。

证明(反证法):如果每个抽屉最多只能放一个物体,那么物体总数最多是n1,而不是题目的n ^ k(k1),所以不可能。

原理:在n个抽屉里放超过mn(m乘以n)(n不是0)个物体,那么至少有一个抽屉里有不少于(m ^ 1)个物体。

证明(反证):如果每个抽屉里最多有M个对象,那么N个抽屉里最多有mn个对象,与题目不符,所以不可能。

原理:在N个抽屉里放无限多的物体,至少有一个抽屉里有无限多的物体。

原则1、2、3都是第一个鸽笼原则的表述。

第二鸽笼原理

把(Mn-1)个对象放在N个抽屉里,一个抽屉里最多必须有(M-1)个对象(比如5个抽屉里放35-1=14个对象,一个抽屉里必须有小于等于3-1=2个对象)。

在上面的第一个结论中,由于一年最多有366天,所以367人中至少有2人在同一个月的同一天出生。这相当于把367个东西放进366个抽屉,同一个抽屉里至少有2个东西。在第二个结论中,设想分别给5双手套编号,即数字为1,2,5的手套有两只,同样大小的两只手套只有一双。取任意6只手套,它们最多有5种号码,所以至少有两只有相同的号码。这相当于把六样东西放在五个抽屉里,同一个抽屉里至少有两样东西。

鸽笼原理更一般的表达是:

如果你随机把kn 1个以上的东西放进n个空抽屉里(k是正整数),那么一个抽屉里至少要放k 1个东西。

利用上述原理,很容易证明任意七个整数中至少三个中的两个之差是三的倍数。因为任意一个整数被3整除时余数只有三种可能:0、1、2,所以七个整数中至少有三个被3整除得到同一个余数,也就是它们之间的差是3的倍数。

如果有无限多的对象要讨论,鸽子洞原理还有另一种表达方式:

如果你把无限多的东西随机分成n个空抽屉(n是自然数),那么一个抽屉里一定有无限多的东西。

学习总结3:

抽屉原理

知识要点

鸽子洞原理,也称鸽巢原理,是组合数学的一个基本原理。它是由德国数学家狭义克莱首先明确提出的。因此也被称为狭义的克莱原理。

将3个苹果放在2个抽屉里,一个抽屉里必须有2个或更多苹果。这个众所周知的常识就是鸽子洞原理在日常生活中的体现。它可以解决一些相当复杂甚至不可能解决的问题。

原理:把n 1个元素分成N类。无论如何划分,一个类中必须有2个或更多的元素。

原理:如果将m个元素任意放入n个(n

其中k=(当n能被m整除时)

[]+1(当n不能被m整除时)

([]表示不大于的最大整数,即的整数部分)

原理:如果你把无穷多个元素放入一个有限集,那么一个集合中一定有无穷多个元素。

抽屉中应用原问题的步骤

第一步:分析问题的意思。区分‘物’和‘抽屉’,即什么东西做‘物’,什么东西可以做‘抽屉’。

第二步:做抽屉。这是关键的一步,就是如何设计抽屉。根据题目的条件和结论,结合相关的数学知识,掌握最基本的数量相关性,设计确定解决问题所需的抽屉数量,为抽屉的使用做铺垫。

第三步:运用鸽子洞原理。观察设置条件,结合第二步,为了解决问题,适当应用每一个原则或综合应用几个原则。

1.教室里有五个学生在做作业。这一天只有数学、英语、语文、地理四科。

验证:这五个学生中至少有两个在做同一科目的作业。

证明:把五个学生当成五个苹果。

数学、英语、语文、地理作业各视为一个抽屉,共4个抽屉。

从鸽笼原理1来看,一定有一个抽屉,里面至少有2个苹果。

也就是说,至少有两个学生在做同一科目的作业。

2.木箱里有3个红色的球,5个黄色的球和7个蓝色的球。如果蒙着眼睛摸,至少要拿出多少个球才能保证其中两个是同色的?

解决方法:把三种颜色想象成三个抽屉。

为了符合问题的含义,球的数量必须大于3。

大于3的最小数是4。

所以至少要取出4个小球才符合要求。

答:至少要取出4个球。

3.班上有50名学生。把书分发给每个人。你至少要拿多少本书,才能保证至少一个学生能拿到两本或更多?

解决方法:把50个学生想象成50个抽屉,把书想象成苹果。

根据原则1,书的数量要大于学生的数量。

也就是至少需要50 ^ 1=51本书。

a:至少需要51份。

4.在一条100米长的小路旁边种101棵树。不管你怎么种,总有两棵树的间距不超过1米。

解决方法:将这条路径分成100段,每段一米长。

每一节被视为一个抽屉,共有100个抽屉,101棵树就是101个苹果。

所以101个苹果放在100个抽屉里,至少一个抽屉里有两个苹果。

也就是说,至少有一个部分有两棵树或更多的树。

5.十一个学生去老师家借书。老师的书房里有A、B、C、D四种书。每个学生最多可以借两本不同的书,至少一本。

试证明一定有两个学生借同类型的书。

证明:如果学生只借一本书,有A、B、C、d四种不同类型。

如果学生借两本不同类型的书,有AB、AC、AD、BC、BD、CD六种不同类型。

有10种类型。

把这10种类型想象成10个“抽屉”

把11个学生想象成11个“苹果”

谁借什么书就进哪个抽屉。

根据鸽子洞原理,至少有两个学生的书是同一类型的。

6.某项赛事单循环赛室外选手50人。没有平局,就没有完全的胜利。

测试证明:两个户外工作者必须有相同的点。

证据:每赢一局就奖励一分。

因为没有平局,没有全胜,所以得分情况只有1,2,3。49,只有49种可能。

有了这49个可能的分数,就有49个抽屉

现有的50名户外工作者得分。

两个户外工作者必须有相同的分数。

7.体育用品仓库里有许多足球、排球和篮球。一个班的50名学生来到仓库拿球。规定每个人最少得一个球,最多得两个球。至少问几个学生,他们得到的球的种类是否相同?

解决问题的关键:利用鸽子洞原理2。

解决方法:根据规定,学生拿球有以下九种方式:

{脚} {排} {蓝} {脚} {排} {蓝} {脚} {脚} {排}

用这9种组合制作9个抽屉。

把这50个学生想象成苹果。

=5。5。五

根据鸽子洞原理2k=[]+1,至少有六个人,他们的球类完全一样。

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